Arithmetische matrizen

Matrizen

sind Datenhalter. Sie enthalten Informationen, die wir auf unterschiedliche Weise manipulieren wollen. Alle Arrays enthalten eine bestimmte Anzahl von Zeilen und Spalten, die die Größe eines Arrays beschreiben.

Wenn Sie die Größe eines Arrays angeben, schreiben Sie immer: . Das bedeutet, dass es sich um ein Beispiel für ein Array handelt.

Wenn die Anzahl der Zeilen der Anzahl der Spalten entspricht, dann haben Sie eine quadratische Matrix: zufällig ist es eine quadratische Matrix.

Arrays und Transposition Transposition

ist der Prozess des Änderns der Zeilen und Spalten in einem Array.

Das Transponieren in das Array wird als bezeichnet. Im Folgenden finden Sie ein Beispiel dafür, wie eine Matrix und ihre Transponate aussehen können

: Addition und Subtraktion

Das Addieren und Subtrahieren zwischen Arrays funktioniert auf sehr intuitive Weise. Die einzige Voraussetzung ist, dass beide Matrizen die gleiche Größe haben.

Sowohl bei der Anzahl der Zeilen als auch bei der Spalten.

Angenommen, wir haben die Matrizen und wie bis dahin ausgedrückt

, sehen die Addition und Subtraktion wie folgt aus

: Übung:
Wir haben die Matrizen:
a) Berechnen
b)

Berechnen Sie die Lösung
, a) Führen Sie die Berechnungen durch und erhalten
b) Wir führen die Berechnungen auf die gleiche Weise wie oben durch und erhalten

die

skalare Multiplikation

.Um eine Skala mit einer Matrix zu multiplizieren, wird das Ergebnis mit jedem Element in der Matrix multipliziert

.

Wichtig!
Diese Art der Multiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden, das nur für Vektoren definiert ist, bei denen

Übung
Wir haben die Matrix .

Berechnen
Lösung Wir kommen zur

Matrixmultiplikation

Diese Art der Multiplikation Heben Sie sich von der Masse ab. Es kann davon ausgegangen werden, dass jede Zeile im ersten Array mit jeder Spalte im zweiten Array skaliert werden sollte (siehe das skalare Produkt).

Wo das Ergebnis landet, entspricht der Zeile und Spalte, mit der das Skaliererprodukt ausgeführt wird.

Wenn wir zwei Matrizen haben: und , dann ist die Multiplikation nicht dasselbe wie , das heißt: . Aus diesem Grund ist es wichtig, den Überblick darüber zu behalten, welche Matrix unsere ist.

Damit die Multiplikation von zwei Arrays definiert werden kann, muss das erste Array so viele Spalten haben, wie das zweite Array Zeilen hat. Dies ist in der Abbildung unten dargestellt.

Eine Sache, die sich bei der Matrixmultiplikation wirklich von anderen Operationen unterscheidet, ist, dass sie nicht kommutativ ist, das heißt, wenn wir die Matrizen haben und somit gilt

Dies hängt von zwei ab Sicher:

Abhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten in den Arrays kann die Array-Multiplikation nicht mehr in definiert werden, funktioniert aber problemlos als .
Wenn die Multiplikation tatsächlich definiert ist, ergeben sie unterschiedliche Werte

Übung
Wir haben die Matrizen
a) berechnen
b) berechnen
c) vergleichen Sie das Ergebnis aus a) und b)

Lösung
a) Wir beginnen mit dem Einrichten der Multiplikation
und sehen, dass die Multiplikation definiert ist: Die Anzahl der Spalten in der linken Matrix entspricht der Anzahl der Zeilen in der rechten Matrix.

Wir sehen auch, dass das Ergebnis ein Array sein muss, da das erste Array Zeilen und das zweite Array Spalten hat.
Wir rechnen
b) Wir rechnen nun weiter
und sehen, dass Das Ergebnis muss ein Array sein. Wir rechnen zu
c) Wir sehen nun deutlich, dass da